menschliches Verhatlen & Wert-Erwartungtheorie

• Eine faire Münze wird geworfen.
• Sobald Zahl erfolgt endet das Spiel sofort & die Geldbeträge werden ausgeteilt.
• Wenn Kopf erscheint wird ein Anfangsbetrag von 2 mit der Anzahl der Kopfwürfe exponiert, solange bis eine Zahl geworfen wird. D.h. erscheint einmal Kopf gewinnst du 2 €. Wird 2 mal Kopf geworfen erhältst du 2^2 = 4 € ; bei 3 mal 2 ^ 3 = 8 € ; bei 4 mal 16 ; usw.
• Vergewissere dich, dass du das Spiel verstanden hast!
  

Frage: Wieviel Geld würdest du investieren um in diesem Spiel mitspielen zu dürfen? Was wäre die rationale, also der Wert-Erwartungstheorie entsprechende, Antwort?

Antwort:
die Wahrscheinlichkeit, dass man leer ausgeht beträgt 50%. Gleiches gilt für eine Auszahlung von 2 € mit dem ersten Wurf. Der Erwartungswert ist daher 0,5 * 2 = 1 € . Die Chance besteht aber auch nach einem Kopf-Wurf einen weiteren Kopf zu erhalten. D.h. man muss zum oben errechneten Ergebnis von 1 € folgendes addieren: 0,5 * 0,5 * 2 * 2 = 0,5^2 * 2^2 = 0,25 * 4 = 1 und erhält folglich 1 € + 1 € = 2 €. Ein weiterer Kopfwurf ist möglich: 0,5^3 * 2^3 = 1 - folglich beträgt der Erwartungswert 3 €. Will man alle Optionen betrachten muss diese Zahlreihe unendlich weitergeführt werden, sodass der Erwartungswert unendlich groß wird
In Praxis aber zeigt sich, dass trotz dieser grandiosen Gewinnerwartung kaum jemand dazu bereit ist wesentlich mehr als 2 € zu investieren...